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MPA S2 Algèbre 2014
Note: Il est inutile d'apprendre par coeur les démonstrations. Il est très utile de
les comprendre.
- Toutes les définitions sont à connaître et peuvent faire l'objet d'une question. Programme :
depuis le cours sur le déterminant jusqu'au cours du 20-03-2014. Les espaces affines et les barycentres
ne sont pas au programme.
- Il y aura quelques calculs sur des nombres complexes.
Liste des questions de cours avec démonstration à savoir pour le contrôle continu du 24-03-14.
- (sans démonstration) Formule du développement du déterminant par rapport à une ligne ou à une colonne.
- det(A+cB,B,C)=det(A,B,C) si A,B,C sont 3 vecteurs colonnes de taille 3.
- (sans démonstration) comatrice d'une matrice A.
- AB inversible ssi A et B sont inversibles.
- (sans démonstration) calcul de la matrice bien échelonnée associée à une matrice, ainsi que de l'inverse
d'une matrice.
- Une sous-famille d'une famille libre est libre.
- Une sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.
- L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
- Base canonique de l'espace vectoriel K^n, base de l'espace vectoriel des matrices M_{p,q}(K).
Une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inf. à N est constituée des éléments
suivants : (1,X,...,X^N) de sorte que cet espace vectoriel est de dimension N+1.
- Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont en somme directe si et seulement
si leur intersection est nulle et si E=F+G.
- Dans un espace vectoriel de dim. n, toute famille libre a au plus n éléments et toute famille
génératrice a au moins n éléments.
- Si E est de dimension n, tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie p inférieure ou égal à n.
De plus, F est égal à E si et seulement si n=p.
- dim(E somme directe F) =dim E + dim(F). Sans démonstration : dim(E+F)=dim(E)+dim(F)-dim(E
intersection F).
- (sans démonstration) Savoir donner une base de solutions de l'espace vectoriel des
suites satisfaisant une relation de récurrence d'ordre 2.
- f une application linéaire, alors f est injective si et seulement si Ker(f)=0.